如果保持这样的趋势会怎样——微分方程

与一般方程的区别

在一个一般方程中，我们需要确切至少一个或者多个“解”是多少，也就是说这可能是个确切的数字，比如：

$f(x) = 2x+1$

当给定一个 $x$ 的时，就会有一个 $f(x)$ 与之对应。

但是，有的时候我们并不是需要知道一个对应的状态，而是需要知道按照这个势头继续进行下去，这件事的变化规律是什么。

假如有一天你忽然发现一个人口增长的规律：一个城市当前人口增长的速度，和当前的人口总数成正比，也就是说，当前人越多，生的越多。

如果我们用 $P$ 来表示人口，用 $P^`$ 代表人口增长的速度（注意，这个速度就是微分），那么这个规律就可以写成这样的公式： $P^`=k*P$ ，这就是一个微分方程，它并没有告诉你人口是多少，而是告诉了你人口的变化规律。

我们再来说一个更通俗的栗子🌰

想象一个场景，你为了减肥而在跑步机上狂奔。

微分就是跑步过程中，你突然低头看一下显示屏，上面写着“当前每分钟消耗8大卡”。

它只代表这一瞬间的变化率（斜率），并不代表你能瘦多少。

而微分方程是一个因果连锁规则。它不是一个具体的数值，而是一套“如果……就会……”的逻辑规则。

代入上面例子，我们就可以看作如下规则：

你瘦的速度（微分），取决于你现在的体重（变量）和你跑多快。

$体重的变化速度=基础代谢+运动消耗-饮食摄入$

这就是微分方程，它并没有告诉你明天你会几斤几两，而是告诉你体重和体重变化快慢之间的对应关系。

解微分方程的过程就像是脑补出根据逻辑规则推演全过程。

所以，微分方程的结果不是一个数，而是一条随时间变化的曲线。